Dreisatz einfach erklärt: Wie helfe ich meinem Kind?

Der Dreisatz sieht harmlos aus: Drei Zahlen sind gegeben, eine vierte wird gesucht. Genau darin liegt das Problem. Das Verfahren lässt sich abarbeiten, ohne dass man versteht, warum es funktioniert. Solange die Aufgaben im Heft gleich gebaut sind, geht das gut. In der Klassenarbeit steht dann eine Textaufgabe mit umgekehrter Richtung, und das eingeübte Schema liefert Unsinn.

Eine große Untersuchung mit 1.062 Lernenden der Klassen 2 bis 8 (Van Dooren und Kollegen, 2005) hat etwas gezeigt, das Eltern erst einmal entlastet: Kinder wenden proportionale Rechenwege auch dort an, wo diese klar nicht gelten. Und diese Fehler nahmen bis Klasse 5 sogar zu, parallel zur wachsenden Fähigkeit, proportional zu rechnen. Vieles spricht dafür, dass der Fehler ein Nebenprodukt des eingeübten Verfahrens ist und kein Zeichen von Schwäche. Deshalb bringt „einfach mehr Dreisatz üben“ allein wenig.

Was der Dreisatz eigentlich macht

Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz und kein eigenes Rechengesetz, sondern ein Lösungsweg. Aus drei bekannten Werten berechnet man den gesuchten vierten, indem man den Umweg über eine einzige Einheit nimmt. In manchen Materialien heißt er „Schluss auf die Einheit“, und das trifft den Kern besser.

Wie das aussieht, steht auf fast jedem Preisschild im Supermarktregal. Neben dem Packungspreis steht der Grundpreis, also der Preis für ein Kilogramm oder einen Liter. Seit dem 28. Mai 2022 ist diese Bezugsgröße bundesweit einheitlich vorgeschrieben (Preisangabenverordnung, erläutert von der Verbraucherzentrale). Das ist der Dreisatz-Schritt auf 1, gesetzlich verordnet. Eine 750-Gramm-Packung für 2,85 Euro kostet 3,80 Euro pro Kilogramm (2,85 geteilt durch 750, mal 1000), eine 400-Gramm-Packung für 1,64 Euro dagegen 4,10 Euro pro Kilogramm. Die kleinere Packung ist pro Kilo teurer. Wer im Laden erst schätzt und dann am Regal kontrolliert, rechnet den Dreisatz, ohne ihn so zu nennen. Alle Euro-Beträge in den Beispielen dieses Artikels sind übrigens frei gewählte Übungswerte, keine echten Preise.

Ein Hinweis zu den Begriffen, weil Eltern hier regelmäßig ins Stolpern kommen: „antiproportional“, „indirekt proportional“ und „umgekehrt proportional“ bezeichnen dasselbe. Welches Wort im Heft steht, hängt vom Bundesland und von der Schulform ab, hier steht durchgehend antiproportional. Auch der Zeitpunkt schwankt: Je nach Land und Schulform kommt der Dreisatz meist zwischen Klasse 6 und Klasse 8 dran. Bundesweit verbindlich ist nur das Ziel: Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz verlangen bis zum Ersten Schulabschluss, proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Sachzusammenhängen zu unterscheiden und damit zu rechnen.

Wie läuft der Standardweg in drei Schritten?

Aufgabe: 3 Hefte kosten 4,50 Euro. Was kosten 7 Hefte?

Vorweg die Frage, die vor dem Rechnen kommt: Wird es mehr oder weniger? 7 Hefte sind mehr als 3, das Ergebnis muss also über 4,50 Euro liegen. Diese fünf Sekunden fangen die meisten Fehler ab. Danach folgen die drei eigentlichen Schritte:

1. Bekannte Zuordnung aufschreiben: 3 Hefte entsprechen 4,50 Euro.
2. Auf die Einheit herunterrechnen: beide Spalten geteilt durch 3, also kostet 1 Heft 1,50 Euro.
3. Auf die gesuchte Anzahl hochrechnen: beide Spalten mal 7, also kosten 7 Hefte 1,50 Euro mal 7, das sind 10,50 Euro.

Die Probe: 4,50 geteilt durch 3 sind 1,50, und 10,50 geteilt durch 7 sind ebenfalls 1,50. Der Preis pro Heft bleibt gleich. Fachsprachlich heißt diese Eigenschaft Quotientengleichheit, der immer gleiche Quotient selbst heißt Proportionalitätsfaktor. Im Heft steht dafür oft nur ein „k“, und das ist schlicht der Preis für ein Heft.

So sollte Ihr Kind das aufschreiben: zwei Spalten mit den Einheiten in der Kopfzeile, links „Anzahl Hefte“, rechts „Preis in Euro“, darunter die drei Zeilen 3 und 4,50, dann 1 und 1,50, dann 7 und 10,50. An die Pfeile dazwischen kommt die Rechenoperation, erst beidseitig „geteilt durch 3“, dann beidseitig „mal 7“. Beim proportionalen Dreisatz steht links und rechts dieselbe Operation, alles andere ist entweder ein Fehler oder eine antiproportionale Aufgabe.

Proportional oder antiproportional: die Weiche, an der alles hängt

Proportional heißt: je mehr, desto mehr, und zwar im gleichen Verhältnis. Erkennungsmerkmal ist die Quotientengleichheit. In Alltagssprache: geteilt ergibt immer dasselbe.

Antiproportional heißt: je mehr, desto weniger, und zwar so, dass zur doppelten Menge der halbe Wert gehört. Erkennungsmerkmal ist die Produktgleichheit, also malgenommen ergibt immer dasselbe. Auch hier reicht die Richtung nicht als Beweis: Von 100 Freiminuten bleiben nach 40 verbrauchten Minuten 60 übrig, nach 80 verbrauchten nur 20. Die Produkte 2400 und 1600 sind verschieden, trotz fallender Werte also nicht antiproportional.

Ein Beispiel aus dem Unterrichtsmaterial eines Landesbildungsservers: Eine Klasse mietet einen Bus für insgesamt 600 Euro. Bei 5 Personen zahlt jede 120 Euro, bei 10 Personen 60 Euro, bei 20 Personen 30 Euro. 5 mal 120, 10 mal 60 und 20 mal 30 ergeben jeweils 600. Fragen Sie Ihr Kind: „Was bleibt hier eigentlich immer gleich?“ Wenn es „die 600 Euro Gesamtkosten“ sagt, hat es die Produktgleichheit verstanden und braucht keinen Merksatz mehr.

Der typische Denkfehler, einmal falsch vorgerechnet

Aufgabe: 4 Maler streichen eine Halle in 9 Tagen. Wie lange brauchen 6 Maler?

So rechnen viele Kinder: 9 geteilt durch 4 sind 2,25, mal 6 ergibt 13,5 Tage. Das Schema wurde sauber abgearbeitet, das Ergebnis ist trotzdem Unsinn. Sechs Maler bräuchten danach länger als vier. Die Richtungsfrage vorab hätte den Fehler gefangen: Mehr Maler, also weniger Zeit.

Richtig geht es so: 4 Maler brauchen 9 Tage. Auf einen Maler herunter wird hier multipliziert, 9 mal 4 sind 36 Tage. Auf 6 Maler hoch wird dividiert, 36 geteilt durch 6 sind 6 Tage. Probe über die Produktgleichheit: 4 mal 9 sind 36, und 6 mal 6 sind ebenfalls 36. Beim falschen Weg wären es 81 gewesen, also nicht dasselbe Produkt.

In der Pfeiltabelle sieht man den Unterschied sofort. Links „Anzahl Maler“, rechts „Zeit in Tagen“, die Zeilen 4 und 9, dann 1 und 36, dann 6 und 6. Die Pfeile laufen gegenläufig: links „geteilt durch 4“ und rechts „mal 4“, danach links „mal 6“ und rechts „geteilt durch 6“. Diese Gegenläufigkeit ist die eigentliche Merkhilfe.

Ein zweites Beispiel: Ein Futtervorrat reicht für 12 Tiere 8 Tage. Wie lange reicht er für 16 Tiere? Richtung: mehr Tiere, weniger Tage. Für ein einziges Tier reichte der Vorrat 12 mal 8 gleich 96 Tage, für 16 Tiere also 96 geteilt durch 16, das sind 6 Tage. Produktprobe: 12 mal 8 sind 96, und 16 mal 6 ebenfalls.

Wann der Dreisatz gar nicht passt

Der Dreisatz funktioniert nur, wenn der Zusammenhang wirklich proportional oder antiproportional ist. Drei Zahlen in einer Aufgabe sind kein Beweis dafür. Zwei Gegenbeispiele für den Küchentisch, ganz ohne Formeln:

• Ein Tarif kostet 5 Euro Grundgebühr plus 0,10 Euro pro Minute. 100 Minuten kosten 15 Euro, 200 Minuten aber nicht 30 Euro, sondern 25 Euro. Die Grundgebühr wächst nicht mit.
• Ein Quadrat mit 3 Zentimetern Seitenlänge hat 9 Quadratzentimeter Fläche. Verdoppelt man die Seite auf 6 Zentimeter, sind es 36 Quadratzentimeter, also das Vierfache und nicht das Doppelte. Diese Fehlvorstellung ist bei 12- bis 16-Jährigen breit dokumentiert.

„Je mehr, desto mehr“ heißt eben nur, dass etwas steigt, nicht dass es proportional steigt. Drei Hemden nebeneinander auf der Leine trocknen in zwei Stunden, sechs Hemden ebenfalls in etwa zwei Stunden. Und ein Kind ist mit sechs Jahren nicht doppelt so groß wie mit drei.

Welche Fehler stecken typischerweise im Heft?

Falsche Zuordnung der Spalten. Eine Untersuchung von Lösungswegen bei Prozentaufgaben (Hafner, 2011), bei denen der Dreisatz die häufigste Lösungsstrategie war, fand neben Rechenfehlern vor allem Zuordnungsfehler, also die falsche Zuordnung gegebener Werte, als häufigste Fehlerquelle. Beispiel: Für 300 Gramm Mehl braucht man 2 Eier, wie viele für 750 Gramm? So sieht der Fehler aus: Das Kind schreibt die Zahlen ohne Kopfzeile untereinander und rechnet 750 geteilt durch 2, also 375. Mit Einheiten in der Kopfzeile („Mehl in Gramm“ und „Anzahl Eier“) fällt sofort auf, dass 375 keine Eierzahl sein kann. Richtig gerechnet: Das Herunterrechnen auf 1 Gramm ist hier unhandlich. Bequemer ist geteilt durch 3, das ergibt 100 Gramm und 2 Drittel Ei, mal 7,5 ergibt 750 Gramm und 5 Eier. Auf einen anderen Zwischenwert als 1 zu gehen, ist übrigens kein Regelbruch, sondern Rechenverstand.

Einheiten weggelassen. 12 Liter Benzin kosten 21,60 Euro, was kosten 30 Liter? 21,60 geteilt durch 12 sind 1,80, mal 30 ergibt 54,00 Euro. Der Zwischenwert ist nicht „einfach 1,80“, sondern 1,80 Euro pro Liter. Sobald Ihr Kind das ausspricht, prüft es selbst, ob die Zahl plausibel ist. Fehlt die Einheit, bleiben Fehler unsichtbar. Bei gemischten Angaben wie 500 Millilitern und 1,2 Litern gilt dasselbe: erst umrechnen, dann rechnen.

Antiproportional wie proportional gerechnet. Der Fall von oben: Das Ergebnis zeigt in die falsche Richtung.

„Über Kreuz multiplizieren“ als Universalregel. Diese Regel formt eine Verhältnisgleichung um und setzt voraus, dass beide Verhältnisse gleich sind. Sie gilt also nur im proportionalen Fall, bei antiproportionalen Aufgaben liefert sie zuverlässig falsche Ergebnisse. Als Weg im Heft ist die Verhältnisgleichung völlig in Ordnung, zum Problem wird sie erst als Regel für alle Aufgaben. Wenn sie im Heft nicht vorkommt, führen Sie sie bitte nicht zu Hause ein.

Was Sie als Eltern konkret tun können

Verbreitete Ratgeber empfehlen, den Dreisatz zu drillen, bis er sitzt. Die Fachdidaktik hält genau das für die Ursache der späteren Fehler. Auflösen lässt sich das nur so: Üben ja, aber jede Aufgabe eingerahmt von einer Frage davor und einem Check danach. Diese Reihenfolge macht genau die zwei Schritte sichtbar, die Lernende laut Forschung überspringen: die Wahl des Modells und die Prüfung am Ende.

1. Vor dem Rechnen fragen: „Wird das Ergebnis größer oder kleiner als der Startwert? Sag es mir, bevor du rechnest.“
2. Aufschreiben lassen, nicht im Kopf: zwei Spalten, Einheiten in die Kopfzeile, drei Zeilen, Pfeile mit der Rechenoperation daneben.
3. Pfeile vergleichen: „Zeigen sie auf beiden Seiten dieselbe Operation oder gegenläufige? Passt das zu dem, was du vorhergesagt hast?“
4. Einheiten mitsprechen: nicht „1,50“, sondern „1,50 Euro pro Heft“.
5. Erklären lassen statt vorrechnen: „Wie bist du darauf gekommen?“ Von allen Tipps hier ist dieser der am besten belegte: Eine Metaanalyse mit 69 Effektstärken aus 64 Forschungsberichten (Bisra und Kollegen, 2018) fand eine mittlere Effektstärke von g = 0,55, also einen deutlichen Lerneffekt. Gemessen wurde das in Lernsituationen, nicht am Küchentisch mit Eltern.
6. Zuerst ins Heft schauen: Welchen Weg hat die Lehrkraft notiert? Neben dem Dreisatz sind das Rechnen mit dem Proportionalitätsfaktor und die Verhältnisgleichung gleichwertige Wege, letztere allerdings nur für proportionale Aufgaben. Eine universell beste Methode gibt es nach der Forschungslage nicht. Wer den eigenen Schulweg durchsetzt, stiftet eher Verwirrung. Steht im Heft eine fertige Formel, ersetzen Sie sie nicht, sondern fragen Sie nach, was die einzelnen Zahlen darin bedeuten.
7. Danach prüfen: „Kann das stimmen?“ Beim antiproportionalen Fall zusätzlich die Produktprobe.

Eine Fünf-Minuten-Übung ganz ohne Rechnen: Lesen Sie Situationen vor, Ihr Kind sortiert nur nach mehr, weniger oder weder noch. Mehr Brötchen kaufen (mehr Geld). Mehr Helfer beim Umzug (weniger Zeit). Mehr Kerzen auf der Torte (hat mit dem Tortenpreis nichts zu tun). Erst wenn das sicher sitzt, lohnt das Rechnen. Wenn Ihr Kind zwischendurch selbst nachlesen und üben möchte, findet es im kostenlosen Lernportal für Mathe Erklärungen und Aufgaben für die Klassen 5 bis 10.

Ehrlich bleiben gehört dazu: Diese Vorgehensweisen sind fachdidaktisch gut begründet und aus der Forschung zu Selbsterklärungen und zum Prüfen von Ergebnissen abgeleitet, als Elterntipps aber nicht in kontrollierten Studien getestet. Die Untersuchung mit den 1.062 Lernenden stammt zudem nicht aus Deutschland, sondern aus dem belgischen Schulsystem, ebenso die Befunde zur Quadratfläche bei 12- bis 16-Jährigen. Das Muster ist international vielfach bestätigt, exakte Zahlen für deutsche Klassenzimmer liefert es nicht. Eine deutsche Studie, die dreisatzspezifische Fehlerquoten bundesweit ausweist, existiert nicht.

Was, wenn Sie selbst mit Mathe fremdeln?

Dann ist weniger Mithilfe und mehr Zuhören die bessere Wahl. In einer Feldstudie mit 438 Kindern der ersten und zweiten Klasse (Maloney und Kollegen, 2015) hing eine ausgeprägte Mathe-Angst der Eltern mit geringerem Lernzuwachs und mehr Mathe-Angst beim Kind zusammen, allerdings nur, wenn diese Eltern häufig bei den Hausaufgaben halfen. Ohne häufige Hilfe zeigte sich der Zusammenhang nicht. Die Studie stammt aus der Grundschule und einem anderen Schulsystem und zeigt einen Zusammenhang, keine bewiesene Ursache, als Hinweis taugt sie trotzdem. Das Leibniz-Institut für die Pädagogik der Naturwissenschaften und Mathematik fasst für Deutschland zusammen: Kontrollierendes Elternverhalten hängt mit schlechteren Leistungen zusammen, ansprechbar sein und Struktur geben hilft. Auch das sind überwiegend Zusammenhänge, keine Beweise.

Einen Satz sollten Sie sich verkneifen: „Ich konnte Mathe auch nie.“ Er ist gut gemeint und schadet trotzdem, weil er schwache Leistungen auf mangelnde Begabung zurückführt. Selbstkonzept und Lernerfolg verstärken sich gegenseitig. Wer sich mehr zutraut, gibt nicht so schnell auf. Wie Sie eine solche Blockade abbauen, ohne sie zum Familienthema zu machen, steht in Mathe-Angst bei Kindern.

Wann steckt mehr dahinter als der Dreisatz?

Wenn Ihr Kind die Aufgaben aus dem Heft löst und nur bei Textaufgaben einbricht, ist das die typische Modellierungslücke, und sie schließt sich mit den Fragen oben. Warum Kinder an Textaufgaben scheitern, obwohl sie rechnen können, steht ausführlich in Textaufgaben: warum sie schwer sind. Wackeln dagegen schon Grundrechenarten, Bruchrechnen oder das Stellenwertverständnis, sitzt die Lücke tiefer. Dann bringt zusätzliches Üben zu Hause nach Einschätzung des Bundesverbands Legasthenie und Dyskalkulie keinen Erfolg, sondern produziert weitere Misserfolge. Der Weg führt dann über die Lehrkraft, die die Lücke eingrenzen kann. Woran sich eine Rechenstörung erkennen lässt und wo Sie je nach Bundesland eine Abklärung bekommen, lesen Sie in Rechenschwäche und Dyskalkulie erkennen.

Die Lehrkraft bescheinigt zugleich den Bedarf für eine geförderte Lernförderung aus dem Bildungs- und Teilhabepaket. Unmittelbar versetzungsgefährdet muss ein Kind dafür bundesweit nicht mehr sein.

Und die Prozentrechnung?

Der Dreisatz ist auch der übliche Weg dorthin: 100 Prozent entsprechen 250 Euro, wie viel sind 18 Prozent? 250 geteilt durch 100 sind 2,50 Euro pro Prozent, mal 18 ergibt 45,00 Euro. Es ist derselbe Schluss auf die Einheit, nur heißt die Einheit hier „1 Prozent“. Genau deshalb ist eine Dreisatz-Lücke selten nur eine Dreisatz-Lücke: Sie wandert weiter in Zinsen, Maßstab und Währungsumrechnung. Wie Sie die Grundvorstellung dahinter aufbauen, steht in Prozentrechnung verständlich erklärt.

Bleibt zum Schluss die Entwarnung vom Anfang. Dass Ihr Kind hier hakt, sagt nichts über seine Begabung, sondern über ein Verfahren, das sich abarbeiten lässt, ohne es zu verstehen. Die Frage vor dem Rechnen kostet fünf Sekunden, und sobald sie zur Gewohnheit geworden ist, trägt sie durch alle Aufgaben, die später darauf aufbauen.